자이베르그-위튼 이론

3. 이론의 전개

자이베르그-위튼 이론은 N=2 초대칭을 갖는 게이지 이론에서 시작한다. 이론의 모듈러스 공간은 게이지 불변 카시미르 불변량으로 좌표화되는 리만 구이다. SU(2) 게이지 군의 경우, 모듈러스 공간은 복소 평면의 한 점 $u$로 나타낼 수 있다. 프리퍼텐셜은 $u$ 공간에서 세 특이점 ($u\; =\; \backslash infty,\; \backslash pm\; \backslash Lambda^2$)을 가지며, 이 점들 근처에서 모노드로미가 발생한다.^[1][2] 모노드로미는 초대칭의 성질을 통해 알 수 있으며, 이를 통해 프리퍼텐셜을 결정할 수 있다. 이 과정을 리만-힐베르트 문제(Riemann–Hilbert problem^영어)라고 부른다.

일반적으로 게이지 군 $G$가 주어졌을 때, 모듈러스 공간은 $G$의 카르탕 부분군 $T(G)\backslash subset\; G$의 바일 군($G$의 근계의 자기동형사상군) $W(G)$에 대한 몫공간 $T(G)/W(G)$이다. 이 모듈러스 공간은 바일 군 불변, 게이지 불변 카시미르 불변량들로 좌표를 잡을 수 있다.

3. 1. 모듈러스 공간과 모노드로미

3. 2. 스펙트럼 곡선 (자이베르그-위튼 곡선)

3. 3. 일반적인 게이지 군의 경우

4. 기하학적 구조

일반적으로, 초대칭 게이지 이론에서 낮은 에너지 진공 해는 낮은 에너지 라그랑지안의 운동 방정식을 풀어 결정된다.^[1][2] SU(2) 게이지 군을 가진 이론의 경우, 스칼라 장의 진공 기대값은 카르탕 부분대수로 게이지 회전될 수 있으며, 이는 무흔적 대각 복소 행렬로 나타낼 수 있다. 게이지 불변량은 $u\; =\; a^2/2\; =\; Tr(\backslash phi^2)$로 주어진다.

켈러 메트릭은 $a$로 표현될 수 있다.

$$ds^2\; =\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash frac\{\backslash partial^2\; \backslash mathcal\{F\}\}\{\backslash partial\; a^2\}dad\backslash bar\; a\; =\; \backslash mathrm\{Im\}da\_Dd\backslash bar\; a\; =\; -\backslash frac\{i\}\{2\}(da\_D\; d\backslash bar\; a\; -\; da\; d\backslash bar\; a\_D)\; =:\; \backslash mathrm\{Im\}\backslash tau(a)dad\backslash bar\; a,$$

여기서 $a\_D\; =\; \backslash frac\{\backslash partial\; \backslash mathcal\{F\}\}\{\backslash partial\; a\}$이다.

$a$와 $a\_D$의 대칭으로 인해, 국소 좌표 $a\_D$를 도입할 수 있다. 이는 전기-자기 이중성 변환의 한 예로 해석될 수 있다.

모듈러스 공간은 특정 모노드로미 데이터를 갖는 리만 곡면으로 주어지며, 이는 '''자이베르그-위튼 곡선'''으로 명시적으로 표현할 수 있다.

$$y^2\; =\; (x\; -\; 1)(x\; +\; 1)(x\; -\; u),$$

5. 물리적 현상

자이베르그-위튼 이론은 자기 홀극, 가둠, 질량 간극 생성과 강-약 이중성 같은 물리적 현상을 설명한다.^[6] 이러한 현상들은 자이베르그-위튼 불변량 이론의 동기가 되었다.

저에너지 작용은 게이지 군 $\backslash mathrm\{U\}(1)$을 갖는 $\backslash mathcal\{N\}\; =\; 2$ 카이랄 멀티플렛 $\backslash mathcal\{A\}$로 설명된다. 이는 원래 $\backslash mathrm\{SU\}(2)$ 대칭에서 남은 깨지지 않은 게이지이다. 이 설명은 큰 $u$에서는 약하게 결합되지만, 작은 $u$에서는 강하게 결합된다. 그러나 강하게 결합된 지점에서 이론은 약하게 결합된 이중 설명을 허용한다. 이중 이론은 두 개의 $\backslash mathcal\{N\}\; =\; 1$ 카이랄 초장 $M,\; \backslash tilde\; M$과 이중 광자 $\backslash mathcal\{A\}\_D$를 갖는 다른 장 내용물을 가진다. 이는 홀극이 질량이 없는 상태가 되는 임계점 $u\; =\; \backslash pm\; u\_0$에서 위튼의 '''홀극 방정식''', 즉 자이베르그-위튼 방정식인 운동 방정식을 제공하는 전위를 갖는다.

자이베르그-위튼 불변량의 맥락에서 보면, $u\; =\; \backslash infty$에서 원래 이론을 비틀어 도널드슨 불변량이 위상 양자장 이론을 얻는 것으로 볼 수 있다. 반면에, 자이베르그-위튼 불변량은 $u\; =\; \backslash pm\; u\_0$에서 이중 이론을 비틀어 얻는다. 이론적으로 그러한 불변량은 모든 유한 $u$로부터 기여를 받아야 하지만, 실제로 두 임계점으로 국소화될 수 있으며, 홀극 방정식의 해 공간에서 위상 불변량을 읽을 수 있다.^[6]

6. 적분 가능계와의 관계

자이베르그-위튼 이론에서 진공 모듈러스 공간의 특수 켈러 기하학은 복소수 완전 적분 가능계의 기하학과 관련된다.^[7] 4차원 이론을 원으로 축소하면 진공 모듈러스 공간이 적분 가능계의 위상과 동일시될 수 있다. 이러한 변수 $a$와 그 쌍대는 자이베르그-위튼 곡선이라고 하는 리만 곡면 위의 미분의 주기로 표현될 수 있다.

7. 끈 이론 및 M이론과의 관계

자이베르그-위튼 이론은 끈 이론에서 D4-막과 NS5-막의 교차점으로 자연스럽게 해석할 수 있다.^{[10][20][22][23]} M이론에서는 D4-막과 NS5-막이 모두 M5-막으로 해석되며, 이는 리만 곡면에 감긴 M5-막으로 나타낼 수 있다. 이 리만 곡면이 자이베르그-위튼 곡선이다.

IIA형 초끈 이론에서 $\backslash mathcal\; N=2$ 초대칭 게이지 이론을 정의한다고 할 때, D4-막들과 NS5-막들의 위치는 다음과 같다.

즉, 012378 방향으로 위치한 NS5-막들 사이에 01239 방향으로 D4-막들이 놓여 있다. 예를 들어 다음과 같다.

8. 인스턴톤 계산을 통한 자이베르그-위튼 프리퍼텐셜

초대칭 국소화 기법을 사용하면, $\backslash mathcal\{N\}=2$ 초대칭 양-밀스 이론의 분배 함수를 명시적으로 계산할 수 있다.^[3] 니키타 네크라소프의 국소화 접근법^[8]을 사용하면 자이베르그-위튼 프리포텐셜을 추출할 수 있다. 이는 소위 $\backslash Omega$-배경에 종속된 이론의 분배 함수의 평탄 공간 극한 $\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}\; \backslash to\; 0$에서 얻어진다.

Ω-배경에서, 모든 비-영 모드는 적분될 수 있으므로, $x\; \backslash to\; \backslash infty$에서 경계 조건 $\backslash phi\; \backslash to\; a$를 갖는 경로 적분은 페르미온 및 보존 행렬식의 곱과 비율의 인스턴톤 수에 대한 합으로 표현될 수 있으며, 소위 네크라소프 분배 함수를 생성한다.

$\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}$가 0에 접근하는 극한에서, 이 합은 고유한 안장점에 의해 지배된다.

한편, $\backslash varepsilon\_\{1\}$, $\backslash varepsilon\_\{2\}$가 0에 접근할 때, 다음 식이 성립한다.

:$Z(a;\backslash varepsilon\_\{1\},\backslash varepsilon\_\{2\},\backslash Lambda)=\backslash exp\; \backslash left(\; -\backslash frac\{1\}\{\backslash varepsilon\_\{1\}\backslash varepsilon\_\{2\}\}\backslash left(\backslash mathcal\{F\}(a;\backslash Lambda)+\backslash mathcal\{O\}(\backslash varepsilon\_\{1\},\backslash varepsilon\_\{2\})\; \backslash right)\; \backslash right)\backslash ,$

참조

_[1] 논문 Electric - magnetic duality, monopole condensation, and confinement in N=2 supersymmetric Yang-Mills theory
_[2] 논문 Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in N=2 supersymmetric QCD
_[3] 논문 Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting
_[4] 논문 Seiberg-Witten theory and random partitions
_[5] 논문 Supersymmetry and non-perturbative beta functions 1988-05
_[6] 논문 Monopoles and four-manifolds 1994
_[7] 서적 Theoretical Physics at the End of the Twentieth Century 1999-12-29
_[8] 논문 Seiberg-Witten Prepotential from Instanton Counting
_[9] 저널 Brief résumé of Seiberg–Witten theory https://archive.org/[...] 1996
_[10] 저널 Introduction to Seiberg-Witten theory and its stringy origin 1997
_[11] 저널 Solitons, monopoles and duality: from sine-Gordon to Seiberg–Witten 1997
_[12] 저널 Introduction to ''S''-duality in ''N''=2 supersymmetric gauge theories (a pedagogical review of the work of Seiberg and Witten) 1997
_[13] 저널 Duality in ''N''=2 SUSY ''SU''(2) Yang-Mills theory: A pedagogical introduction to the work of Seiberg and Witten 1996
_[14] 저널 On the geometry behind ''N''=2 supersymmetric effective actions in four dimensions 1997
_[15] 저널 Supersymmetry and duality in field theory and string theory 1999
_[16] 서적 Trends in theoretical physics: CERN-Santiago de Compostela-La Plata meeting https://archive.org/[...] American Institute of Physics 1998
_[17] 저널 Monopoles and four-manifolds 1994
_[18] 서적 Geometric Analysis and Applications to Quantum Field Theory https://archive.org/[...] Birkhäuser 2002
_[19] 저널 The Seiberg-Witten equations and 4-manifold topology 1996
_[20] 저널 Solutions of four-dimensional field theories via M-theory 1997-09-01
_[21] 서적 Elliptic Curves Springer 2004
_[22] 저널 Self-dual strings and N=2 supersymmetric field theory
_[23] 저널 Classical M-fivebrane dynamics and quantum ''N''=2 Yang-Mills 1998-01-29
_[24] 저널 Electric–magnetic duality, monopole condensation, and confinement In ''N''=2 supersymmetric Yang–Mills theory 1994-09-05
_[25] 저널 Monopoles, duality and chiral symmetry breaking in ''N''=2 supersymmetric QCD 1994-12-12